miércoles, 14 de septiembre de 2016

Formas de resolver problemas comunes con procedimientos de matemático

J. López García, "Diez formas de pensar y resolver un problema matemático", en ABC 19/06/2013:

«Las matemáticas son difíciles, pero si piensas matemáticamente todo se simplifica», así se explica en el libro 'Cómo pensar como un matemático' del profesor Kevin Houston

1.Cuestiónatelo todo

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que todo puede ser probado. No tienes que creerte todo lo que te digan. Si alguien dice que algo es verdad, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, si realmente quieres pensar como un matemático intenta probarlo tú mismo. Tu reacción siempre debe ser dudar e intentar encontrar un contraejemplo. Aunque al final el resultado sea cierto, el esfuerzo mental te ayudará a cuestionar otras afirmaciones en el futuro.

2. Escribe con palabras tu problema

¿Cómo puede ser que ponerme a escribir puede ayudarme a ser un buen matemático? —te estarás preguntando. Las frases son los ladrillos con los que construimos nuestros argumentos. Las matemáticas manejan argumentos para elaborar las demostraciones y probar las conjeturas. ¡No se trata de que te pongas a hacer cuentas como un loco! Muchos estudiantes no creen que esto sea necesario; suelen decir: «No me he matriculado en Matemáticas para escribir ensayos», o «¡pero si ya casi tengo la solución!». Si deseas comprender las matemáticas a fondo y pensar con claridad, escribir te obligará a cuidar tus argumentos. Si no eres capaz de describirlos, quizás sea por que no has comprendido el fondo del problema.

3. ¿...Y si fuera al revés?

Los teoremas matemáticos se basan en la lógica. Son silogismos que aseguran que si A es verdad, entonces B también es verdad. Pero si damos la vuelta al argumento, estaríamos afirmando que si B es cierto, entonces A también sería cierto. Por ejemplo, si digo: «si soy español, entonces soy europeo», su inverso sería: «si soy europeo, entonces soy español». Un buen matemático, cuando está seguro de que A «es necesario» para B, siempre se preguntará si lo contrario también es cierto. En ocasiones será cierto y en otras no, como sucede en nuestro ejemplo anterior. De serlo, se dirá que B «es suficiente» para A.

4. Utiliza la reducción al absurdo

René Descartes, precursor del uso de la lógica en las matemáticas y la filosofía
Lo contrario de la afirmación anterior de «si A es verdad, entonces B es verdad», implica que «si B es falso, entonces A es falso». Bueno, pues ¡podemos estar seguros de la veracidad de esta última afirmación! Si le damos la vuelta otra vez, nos encontramos la primera afirmación y viceversa. En nuestro ejemplo, podríamos demostrar nuestra afirmación «si soy español, entonces soy europeo», por reducción al absurdo, comprobando que es cierta su contraria: «si no soy europeo, entonces no soy español». Una prueba habitual en los tests psicológicos, conocida como tarea de selección de Wason, se basa en este recurso y por cierto, los resultados entre los encuestados son bastantes pobres, ¡menos del 10% consiguen hacerlo bien!Mira aquí si tú podrías hacer el test correctamente.

5. Lleva los ejemplos al extremo

Una buena estrategia es pensar: ¿Qué sucedería si utilizo el número 0 ó el 1?, ¿Cómo se comportaría una recta o una circunferencia? ¿Y si uso un elemento trivial que siempre sea nulo? ¿Y si tomo el conjunto vacío? ¿O la secuencia 1, 1, 1, ...? Estos ejemplos te ayudarán a comprender mejor el problema.

6. Crea tu propio mundo

Un matemático crea sus propios ejemplos, algunos serán normales, otros extremos y otros serán contraejemplos. Cuando conozcas el procedimiento de resolver un tipo de problemas, intenta ir más allá y busca problemas similares que no puedan resolverse con ese método y sea necesario mejorarlo.

7 Y si supongo que...

Comprender la demostración de un teorema puede llegar a ser difícil. No suelen explicarse los pormenores que justifican todos los pasos seguidos por el autor para llegar a las conclusiones o cómo fue descubierta la clave para alcanzar la solución. Es una de las cosas más difíciles a las que se enfrentan los matemáticos. Todos los teoremas dan por ciertas unas hipótesis iniciales. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras da por supuesto un ángulo de noventa grados dentro del triángulo. Estas presuposiciones serán usadas antes o después en el transcurso de la demostración (de lo contrario serían innecesarias). Por tanto, tienes que estar atento al momento en que se hace uso de ellas en el transcurso del desarrollo. Conociendo su estructura, no necesitarás memorizar sus conclusiones.

8. Empieza por lo más complicado

Para probar que una igualdad es cierta, es mejor comenzar por el lado más complicado de los dos, intentar simplificarlo y reducirlo hasta llegar a la expresión del otro lado de la igualdad. Intentar partir de la ecuación completa, pasando de uno a otro miembro parte de los términos, sin darte cuenta podría llevarte a repetir en círculos los mismos pasos sin llegar a resolverla.

9. ¿Qué pasaría si...?

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse: «¿Qué pasaría si, por ejemplo, prescindo de esta hipótesis?» Haciendo este experimento, podrás entender por qué un resultado es cierto o por qué se define de esa manera un elemento de la demostración. ¡Han aparecido nuevos y más elegantes teoremas a partir de condiciones iniciales más débiles que en el original! La idea es hacerse siempre nuevas preguntas.

10. ¡Explícate!

Cuando Sir C. Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas para crear una atmósfera matemática en el centro fue la instalación de pizarras en los pasillos —y no sólo dentro de las aulas—, para que unos y otros pudieran explicar el trabajo que estaban realizando, favorecer la colaboración y contrastar los resultados. En el Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac Newton» de Cambridge, hay pizarras en los baños y en el ascensor, ¡qué sólo recorre dos plantas! Explicar a otros tus ideas contribuye a aclararlas y puedes aprender mucho con las sugerencias que ellos puedan aportarte o encontrar errores que de otro modo no verías. Busca a alguien con quien puedas hablar de tus problemas... matemáticos.

Si se aplica la lógica a los dogmas religiosos, tienen un defecto mayor a lo equivalente en los matemáticos, los axiomas; los primeros son incuestionables, pero con los segundos siempre existe la posibilidad de que alguien pruebe lo contrario. Además hay axiomas no probados cuyas consecuencias sí pueden probarse y demostrarse. Pero todo lo construido en base a Dios no puede ser probado, ni el Cielo, ni el Infierno, ni el Pecado, ni la existencia de un alma, a no ser que tomemos en serio una serie de fenomenos todavía sin explicación racional, los llamados milagros o fenómenos paranormales. Así que, si se cuantifica y no se rebate, eso no significa que la matemática no pueda ser rebatida en algún punto: con esto la matemática cambiaría, pero no desaparecería. Por el contrario, como supone Kant, la idea de Dios no puede ser rebatida en parte ni en todo, ni en el presente ni en el futuro, ya que si se refuta o se demuestra, la religión desaparece, no puede comprobarse. De forma que, si se trata de elegir en qué creer (dogmas o axiomas), serían preferibles los axiomas. Al menos se puede comprobar lo que uno construye con ellos, o, acaso, si lanzas una moneda común un millón de veces, lo más probable es que se tiendan a igualar la cantidad de resultados obtenidos (cara o cruz) y bajo mi ciencia asumo la posibilidad de algún resultado posible en el universo de resultados. Por el contrario no existe un experimento que se funde en la existencia de Dios; es incorrecto y dañino para los hombres que las religiones generen y promuevan ideas absolutas e incuestionables tanto como lo es la existencia de una sola verdad. En cambio la ciencia se construye en base al método. La realidad es mayor a nuestras explicaciones, pero esto no implica que las respuestas a lo que desconocemos todavía y sea inexplicado sea Dios; aunque, de hecho, a lo largo de la historia la idea de Dios y las religiones haya significado algunas veces subdesarrollo, destrozo de conocimiento, limitación del cuestionamiento y por ende limitación de crear conocimiento porque el conocimiento nace de la duda, Dios ofrece respuestas que son su misma pregunta, tautologías, y no puede probarse la existencia del alma, del cielo o de algo que implique que Dios existe... por eso esta teoría es la única que se cree antes de mostrar siquiera que tiene algún fundamento en al realidad, sino más bien es la expresión del miedo a la finitud del hombre, sin olvidar que la moral solo es personal, ya que, cuando la moral nace de la religión, nace de entender lo que es beneficioso para vivir en sociedad, simplemente. Y, si la  más grande creación de Dios el hombre, y por consecuencia Vos no puede, según tú, ser probada luego entonces por qué crees que existes? Asumes existencia si la defines de alguna manera, en especial podemos encasillar la realidad percibida como prueba de la existencia.

Rajoy también tiene un problema matemático. La solución es muy sencilla, pero todavía no ha dado con ella. Dice así: "¿Cómo es posible que habiendo subido los impuestos la recaudación haya disminuido?"

Si quiere la solución que se lo curre, que para eso cobra (y no poco).



B. Russel: "No creo que Dios haya elegido a los Judíos pues no los hubiera hecho tan feos... " Godel con sus dos teoremas de incompletitud  terminó por aniquilar a la ciencia como herramineta competente en Cosmología como la usan actualmente los ignorantes. Si la ciencia (hoy en dia basada fuertemente en la matematica y sobre todo en la probabilidad... a costa de la lógica es parte de la realidad, nunca podrá explicar esa realidad misma... (corolario de uno de los teoremas de Gödel: “¡Un sistema de n dimensiones solo puede ser completamente representado por uno de n + 1 dimensiones, lo que es totalmente lógico!). Para explicar la ciencia se necesitaria una metaciencia, de por lo menos una dimensión mayor. Y algunos llaman a esa metaciencia religión o ética. Schopenhauer: “Si Dios puede pensar, también debe poder digerir, ya que el pensamiento es la funcion de un órgano llamado cerebro, como la digestión lo es del estómago”. El pensar no puede explicar la realidad porque pensar pertenece a la propia realidad; es parte de ella. Pensar es una funcion del cuerpo y la ciencia su producto. Por eso existen misterios, que por esta misma verdad son misterios. La epistemologia o la gnoseologia es el conocimiento. La metalógica o la metaciencia es la descripción de cómo se realiza ese conocimiento. Cuando se describe cómo se realiza ese conocimiento para que sea fácil de entender, es cuando se habla de metalógica o de metaciencia.... Las lógicas del conocimiento y de la creencia son distintas y los mundos posibles también (Hintikka y Kripke). El pensar no asegura ni la realidad ni el conocimiento, pero el ser humano es un ser de realidades (Zubiri). Tomemos, por ejemplo, el axioma del paralelismo, las longitudes del mundo son paralelas en el ecuador pero se cortan en los polos; las paralelas no se cortan en el plano; pero ¿qué es un plano si no sabemos qué es una recta. Pensamos que una recta es la distancia más corta entre dos puntos, pero, ¿existe? Parece que no; en la tierra es prácticamente imposible, en el espacio, donde no hay obstáculos ni gravedad), también. Pero sí se puede ir de la Tierra a la Luna dando círculos (órbitas), ya que la recta es imposible.