Aprender álgebra con un videojuego

Jean Baptiste Huynh te muestra el videojuego con el que puedes aprender álgebra en un par de horas

Por J. Dalmau / Á. L. Sucasas | 05-08-2015

Siendo profesor de matemáticas en un instituto (un profesor de los buenos, de los que tienen vocación y entrega, de esos que en sus ratos libres investigan para intentar aportar más a sus alumnos), Jean-Baptiste Huynh se dio cuenta de algo terrible: no importaba lo que hiciera ni lo que contara, ni tan siquiera era importante que los chicos que le escuchaban lo hicieran con cierta simpatía, porque lo cierto es que se aburrían mortalmente.

Sin embargo, a pesar de que sus esfuerzos resultaban baldíos, Jean-Baptiste siempre estuvo firmemente convencido de que todos los alumnos que pasaban por sus manos eran brillantes e imaginativos. Y que la mente humana, en esos primeros años de formación, tiene suficientes recursos como para aprender con facilidad si se ponen a su alcance las herramientas adecuadas. Por eso, en lugar de frustrarse como profesor o darse por vencido arguyendo que los jóvenes actuales son unos zotes más interesado en el reguetón que en estudiar, hizo lo que todo buen pedagogo debería: escuchó, observó, reflexionó e inventó un nuevo método para enseñar matemáticas.

Su primer aprendizaje fue que si pretendía aportar algo a los chicos tenía que ponerse a su nivel para poder entrar en su mundo. Un mundo de diversión, de juegos, de color e imaginación. Un mundo bastante alejado de la imagen clásica de las aulas. De este aprendizaje y de la pasión de Jean-Baptiste por la enseñanza nació WeWantToKnow, el estudio que ha desarrollado DragonBox, un videojuego que permite a los alumnos aprender álgebra básica en algunas horas jugando desde su smartphone o desde su tablet. Revistas especializadas y periódicos en todo el mundo han saludado la aplicación como un avance revolucionario en la educación para niños y adolescentes. Pero los elogios no han modificado la perspectiva de Jean-Baptiste, que continúa considerando imprescindible que los países inviertan en la formación de sus jóvenes. Porque WeWantToKnow no quiere limitarse a crear juegos de éxito; su objetivo es mucho más grande: quieren cambiar el mundo a través de la educación.

Cómo aprobar exámenes tipo test

José Ángel Murcia: "Consejos de un profesor de matemáticas para aprobar un examen tipo test sin estudiar" El País, 09/06/2015:

Eres un procrastinador y lo sabes. Por eso estás leyendo este artículo y no estudiando para el examen. ¿Qué examen? El de mañana, ¿no es mañana el examen? Bueno, así hay más tiempo para estudiar... En todo caso, supongamos que tienes mañana un examen. Supongamos también que no has empezado a estudiar, y que es tipo test. ¿No te has visto nunca en una situación así?

Aunque hayamos hecho todas las asunciones del primer párrafo, aún no hemos terminado de suponer cosas. Los exámenes en forma de test son muy diversos: los hay de respuesta múltiple (puede haber varias opciones correctas) y de respuesta simple. Estos segundos se dan más, tal vez porque los primeros son más difíciles de poner. También hay pruebas en las que responder erróneamente resta puntos y esto -aunque a priori parezca pura crueldad del profesor- responde a la sana idea con que nos encontramos los maestros (“si no sabe nada, no puede sacar más de 0”). Piénsalo: si las respuestas erróneas no restan puntos y hay cuatro respuestas posibles en cada pregunta, la expectativa de responder al azar sería la de acertar en una de cada cuatro ocasiones, esto es, se espera que un 25% de las respuestas sean correctas… ¡la nota sería un 2,5! (aquí está la explicación matemática).

En realidad si las respuestas erradas no restan y sigues alguno de los consejos que se plantean a continuación, las expectativas pueden ser aún mayores y acercarse a ese ideal que tenemos los que hemos sido alumnos: a̶p̶r̶o̶b̶a̶r̶ ̶s̶i̶n̶ ̶m̶e̶r̶e̶c̶e̶r̶l̶o̶  aprobar sin estudiar.

1. Tanto si las preguntas incorrectas restan nota como si no, asegura primero las preguntas que sí que te sabes -alguna sabrás, aunque no hayas estudiado-. Hay quien dice que las preguntas anteriores y posteriores a las respuestas que ya has respondido no suelen repetir la misma opción, pero eso dependerá del nivel de maldad del profesor (nada le impide colocar las cincuenta respuestas correctas en 50 aes consecutivas). También puede que haya utilizado algún generador de test que reordene las respuestas de forma aleatoria, o que el diseño de las respuestas correctas siga patrones, cenefas o contenga mensajes secretos como “b/e/b/e/c/a/c/a”. Así que no tengas eso en cuenta.

2. El segundo consejo pasa por intentar a continuación las preguntas que veas accesibles y descartes en ellas esa respuesta que es imposible por ilógica o contradictoria. Es una norma no escrita en los exámenes tipo test, casi siempre hay una opción que se puede descartar. A veces no depende ni siquiera de la pregunta: si las respuestas son guepardo, lince, pantera y perro, yo descartaría “perro” por no ser felino.

3. También hay ocasiones en las que una respuesta se puede descartar por no tener concordancia en género o en número con la pregunta. Eso aumenta las probabilidades de aprobar respondiendo al tuntún sobre el resto de preguntas sin descartar.

4. La economía, la complejidad de encontrar buenas respuestas falsas -o las pocas ganas de complicarse la vida del examinador- nos lleva a un consejo que podemos encontrar en la mayor parte de foros: las respuestas largas, elaboradas y concretas suelen ser las correctas, nadie se molestaría en escribir una respuesta falsa muy larga (tal vez por miedo a delatarse). Habría que poner en cuarentena ese consejo dado que, como decíamos antes, no sabemos cómo de perverso será el examinador. Sin embargo, en la web encontramos de todo, y en esto de responder pruebas sin tener ni idea hay mucho gurú que recomienda que “en caso de duda, contesta siempre c)” o “elimina las que digan NUNCA, SIEMPRE, TODOS o NINGUNO”, consejos que no parecen tener mucho fundamento.

De hecho, William Poundstone ha estudiado los fallos inconscientes en la construcción del sistema en un centenar de pruebas oficiales y nos recomienda apostar por “todas las respuestas anteriores son verdaderas” o por “todas las opciones anteriores son falsas” (¡nunca para la misma pregunta!), dando como dato que son respuestas acertadas en el 52% de los casos. Pounstone es autor de una biografía de Carl Sagan y de un libro sobre el dilema del prisionero (y tiene una cuenta en twitter dedicada a anagramas de su libro Rock Breaks Scissors: a Practical Guide to Outguessing and Outwitting Almost Everybody) .

5. No olvides la ley de Benford, ¿no conoces la ley de Benford? Esta historia empieza cuando, a finales del siglo XIX, el astrónomo Simon Newcomb observa que las páginas correspondientes a los dígitos 1, 2 y 3 de los libros de tablas de logaritmos que había en la biblioteca estaban más gastadas que las correspondientes a dígitos altos como 7, 8 o 9.

Cincuenta años más tarde -y de forma independiente- el físico Frank Benford formuló que, en números de varias cifras que provengan de medidas físicas (áreas de regiones, longitudes de ríos...), la probabilidad de que el primer dígito no nulo sea 1 es del 30,1%. El resto de los dígitos van decreciendo en escala logarítmica teniendo para el 2 un 17,6% y siendo el menos probable el 9 con un magro 4,6%.

Para tratar de entender (que no demostrar) la ley de Benford podemos pensar en un conjunto de datos que la cumple. Por ejemplo, un censo electoral con los números de las viviendas de un número grande de personas. Como las calles no son infinitamente largas, los números se agotan antes o después. A veces no llegarán a completar la decena (casos de calles muy cortas o plazas), lo que aportará dígitos bajos pero más o menos igual repartidos. Sin embargo, otras calles no aportarán más de 20 números, lo que nos proporcionará una mayoría de números que empiecen por 1 (todos los que van desde el 10 al 19 además del 1). Más aún en una calle larga que llegue, por ejemplo, al 200, ¡más de la mitad de las casas empiezan por uno!

Hay muchos otros números que no cumplen esto, como ocurre con los que se extraen al azar -como los de la lotería- o fruto de funciones aleatorias o distribuciones uniformes. En esos casos podemos esperar encontrar un 1 como primer dígito con una frecuencia del 11,11…%, al igual que cualquier otro de los 9 dígitos distintos de 0.

La ley de Benford se utiliza para cosas como testar seguidores falsos en Twitter u operaciones bancarias fraudulentas y fue famosa hace unos años cuando un profesor de matemáticas la utilizó para decir que los papeles de Bárcenas eran falsos, porque cifras como el número 6 encabezaban más asientos de lo que Benford predecía. Se había calculado las frecuencias para los asientos entre 2002 y 2008 pero obviaba el pequeño detalle de que, desde la introducción del euro, el 6 es el dígito que arranca todas las cifras que antes empezaban por… 1 (recuerda lector que un millón de las antiguas pesetas son 6.000 euros). O sea, que los papeles de Bárcenas en pesetas sí que cumplían la ley... salvo alguna cosa.

Y todo esto ¿en que afecta al examen de mañana? Pues en que si sabes que los datos provienen del mundo real, apuesta por las respuestas que empiecen por 1.

Espero que todos estos consejos -poco éticos teniendo en cuenta que soy profesor- te sirvan de algo, aunque lo que más te va a servir si mañana tienes un examen es ponerte a estudiar. Eso sí, siempre que el examen no tenga preguntas demasiado autorreferentes como la siguiente:

Si elegimos al azar una respuesta a la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

a) 25%

b) 50%

c) 0 %

d) 25%

La ley de Zipf

De José Manuel Nieves, en Abc, 13-XII-2013:

Un oscuro principio matemático llamado la ley de Zipf ha predicho el tamaño de las megaciudades en todo el mundo durante el siglo pasado. Y nadie sabe por qué. Zipf descubrió su principio observando el uso de las palabras en una lengua determinada, pero después vio que su ley era aplicable a la generación de riqueza y al tamaño de las grandes ciudades. Y todo esto sin una clara explicación lógica que lo sustente.

Ya en 1949, el lingüista George Zipf notó algo extraño en la frecuencia con que las personas usaban las palabras en un idioma determinado. Se encontró con que un pequeño número de palabras se utilizan todo el tiempo, mientras que la gran mayoría se utilizan muy raramente. Él alineó las palabras en orden de popularidad, y surgió un llamativo patrón. Las palabras que estaban en el primer grupo del ranking se utilizaban siempre dos veces más que las que estaban en el segundo grupo, y tres veces más que las del tercero. Él llamó a esto una regla de rango contra frecuencia, y encontró que también podría ser utilizada para describir la distribución del ingreso en un país determinado, con la persona más rica siendo propietario del doble de dinero que el siguiente más rico, y así sucesivamente.

Más adelante se vio que la denominada ley de Zipf, la regla de rango contra frecuencia, también funcionaba si se aplica a los tamaños de las ciudades. La ciudad con mayor población de cualquier país es generalmente el doble de grande que la siguiente más grande, etc. Aunque parezca increíble, la ley de Zipf ha servido para las ciudades de todos los países del mundo durante el siglo pasado. Basta con echar un vistazo a las ciudades con mayor población en los Estados Unidos. En el censo 2010, la ciudad más grande en los EE.UU. era Nueva York, con una población de 8.175.133 personas. Los Angeles, la segunda, tenía una población de 3.792.621. Y las tres siguientes ciudades, Chicago, Houston y Filadelfia, tenían en ese momento 2.695.598, 2.100.263 y 1.526.006 habitantes respectivamente. Se puede ver que obviamente las cifras no son exactas, pero bajo una mirada estadística son muy consistentes con las predicciones de Zipf.

Una misteriosa ley predice el tamaño de las ciudades más grandes del mundo

Paul Krugman escribió en 2006 sobre la aplicación de la ley de Zipf a las ciudades, y comentó que “la queja habitual acerca de la teoría económica es que simplifica los modelos, ofreciendo puntos de vista excesivamente ordenados sobre una realidad a menudo confusa y compleja. Con la ley de Zipf pasa lo contrario. Tenemos modelos complejos, desordenados , y sin embargo la realidad es sorprendentemente limpia y simple”.

En 1999 el economista Xavier Gabaix escribió un artículo donde describió la ley de Zipf para las ciudades como una ley de potencias, y demostró cómo el tamaño de las ciudades de Estados Unidos podría ser mapeada en una gráfica lineal. Gabaix señaló que esta estructura se cumplía incluso en el caso en que las ciudades tuvieran tasas de crecimiento caóticas. Pero él y otros economistas también se dieron cuenta de que la estructura ordenada de esta ley de potencias tendía a romperse cuando ya no se estaba hablando de megaurbes. Las ciudades más pequeñas, por debajo de los 100.000 habitantes, parecían obedecer a una ley diferente y mostraban una distribución más normal de tamaños.

Llegados a este punto comenzaron a preguntarse cómo se estaba definiendo exactamente el concepto de ciudad. Cuando se están haciendo este tipo de cálculos, parece arbitrario decir que Boston y Cambridge cuentan como dos ciudades, o que San Francisco y Oakland son entidades distintas simplemente porque están separadas por un trozo de agua. Dos gégrafos suecos respondieron a esta pregunta generando el concepto de "ciudades naturales", basado en la ocupación geográfica y la conectividad de las carreteras en lugar de en las fronteras administrativas. Y lo que encontraron fue que incluso estas "ciudades naturales" obedecían la ley de Zipf .

Las excepciones

Nadie está realmente seguro de las razones que llevan a las grandes ciudades a cumplir este patrón predecible. El tamaño de la ciudad crece debido a la una mayor tasa de natalidad que de mortalidad y la inmigración. Los inmigrantes tienden a acudir a las ciudades más grandes, ya que ofrecen más oportunidades. Pero la inmigración no es suficiente para explicar la ley de potencia que produce esa pendiente tan perfecta en el gráfico de Gabaix. Las razones son también claramente económicas, porque las grandes ciudades tienden a producir más riqueza y ya se ha visto cómo la ley de Zipf se aplica a la distribución de ingresos. Pero todas estas razones siguen sin dar una explicación definitiva.

También hay excepciones a la ley de Zipf, como se encargaron de poner de relieve un grupo de investigadores el pasado año publicando sus conclusiones en la revista Nature. Encontraron que la ley de Zipf sólo se aplica si el grupo de ciudades están integradas económicamente, lo que explicaría por qué la ley de Zipf funciona si nos fijamos en las ciudades de una nación europea determinada, pero no en la UE en su conjunto. Estos investigadores afirman que “de hecho, históricamente, el Estado Nacional es nivel geográfico en Europa en el que se observa una evolución integrada, mientras que los EE.UU., toda la confederación y no cada estado independiente, ha evolucionado de manera colectiva y orgánicamente hacia una distribución de las ciudades que sigue la ley de Zipf.

No es difícil entender por qué una ciudad, que es esencialmente un ecosistema aunque construido por los humanos, debe cumplir con determinadas leyes naturales. Pero la ley de Zipf es algo que parece que no tiene análogo natural. Es social y, como se ha mencionado antes, sólo es válido para las ciudades en los últimos 100 años.Todo lo que se sabe es que la ley de Zipf se aplica a una gran cantidad de otros sistemas sociales, incluidos los económicos y lingüísticos. Así que es posible que haya normas sociales generales en el trabajo que impulsan esta extraña regla de rango contra tamaño, que algún día podríamos entender. Quien pueda descifrarlo puede encontrar la clave para predecir mucho más que el crecimiento urbano. La ley de Zipf puede ser sólo una componente de una gran norma fundamental de la dinámica social que define la forma en la que nos comunicamos, el comercio, y cómo formamos las comunidades en las que vivimos.

Un matemático que sabe escribir explica una hipoteca

Por lo general los matemáticos prescinden de la claridad en sus escritos; les parece algo feo y poco digno. No es el caso del señor Carlos Ivorra, matemático y amante de las humanidades. Aquí explica cómo se calcula una hipoteca, rasgo solidario que demuestra su grandeza de alma.

Cálculo de esqueletos

En Topología (disciplina matemática que tiene mucho que ver con la marinera Cabuyería, arte manual y pragmática que corresponde a la abstracta teoría de nudos), es una disciplina importante el cálculo de esqueletos. Uno, que no necesita ayuda para saberse un esqueleto, e incluso para hacerse un lío, siempre ha sentido interés por estas disciplinas, entre otras cosas porque no sabe hacer la O con un canuto, ni siquiera con una cuerda, como los vaqueros de Texas (obvio: ¿cómo si no podría hacerse uno un lío gordo, un lío gordiano?), por más que se pase de experto jugando al Mahjong y haya concluido victorioso todas las peligrosas versiones del Doom o sepa defenderse en el zoológico origami (papiroflexia, para entendernos); lo único que busca en todo esto es el arte que pueda haber, no precisamente la seca ciencia inhumana. Con los nudos y los esqueletos y los laberintos y los poliominós y poliformas nos acercamos peligrosamente al terreno del arte, de la literatura, y del matemático Escher terminamos pasando al artista Escher, como este pasa de un demonio a un ángel y de un pez a un pájaro. Lo malo es que para conocerlo todo hay que pasar por el aro de Moebius, que sólo ofrece una cara, como la luna.

A favor de las Matemáticas

Bernardo Marín, "El 'anumerismo' también es incultura", en El País,  06/04/2011.

Saber pocas matemáticas nos convierte en ciudadanos más manipulables - El desconocimiento de los números carece del reproche social que provocan otras ignorancias

   

Comprar un décimo a Doña Manolita "porque ahí cae mucho" sin tener en cuenta la enorme cantidad de números que despacha esa administración de lotería. Traducir del inglés la palabra billion por "billón" sin considerar que en español ese término designa una cifra mil veces mayor. Asumir sin el menor sentido crítico el titular "ocho autonomías, por debajo de la media en gasto sanitario", sin preguntarnos qué tendrá de extraordinario la noticia.

Estos tres ejemplos son síntomas de anumerismo, la incapacidad en diversos grados para desenvolvernos en el universo de las cifras. La palabra la popularizó hace 23 años el matemático estadounidense John Allen Paulos en El hombre anumérico (Tusquets), un ensayo que ya es un clásico. Y aunque el término no ha entrado en el diccionario, describe una realidad vigente, un tipo de ignorancia que puede afectar a personas cultísimas en otras ramas del saber. Su precio, según Paulos, es alto. "Usted puede elegir entre tener o no ciertas nociones numéricas pero si no las tiene será más manipulable". Y más proclive a dejarse engañar por charlatanes y pseudocientíficos.

Emilio Lledó, profesor de Historia de la Filosofía y académico, reivindica también las matemáticas como una luz para alumbrar un mundo de manipulación informativa. "Esta ciencia es una lucha constante con la verdad porque en ella, en su exactitud, no caben las ideas mentirosas". Lledó recuerda su etimología: del griego máthema, aprender. Y no solo aprender, sino experimentar. Y no solo experimentar, sino deducir. Y no solo deducir, sino demostrar. Y no solo demostrar, sino estar en contacto con lo verdadero. "Y todo esto", lamenta, "no puede estar muy de moda en un universo que tiende a la falsedad".

A la lucha contra los efectos perniciosos del anumerismo dedica la Real Sociedad Española de Matemáticas su centenario en este 2011. Un combate difícil porque, según su portavoz, Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma, este tipo de analfabetismo no tiene el reproche social de otras carencias. En una reciente entrevista en este diario, Quirós razonaba: "En un restaurante a nadie le preocupa decir 'haz la cuenta'; pero nos cortaría mucho pedir que nos leyeran el menú". "Ahora hay máquinas que lo hacen todo, pero tenemos que saber cuándo nos sale un disparate con una calculadora". Su organización pretende convencer a la gente de que esas cifras que le aterran representan cuestiones de la vida diaria y desentrañarlas ayuda a comprender la realidad.

Quirós propone un ejemplo de cómo saber de números nos vuelve ciudadanos mejor informados: al presentar la decisión de reducir la velocidad en carretera a 110 kilómetros por hora, el Gobierno aseguró, en un primer momento, que se pretendía ahorrar "el 15% en la gasolina y el 11% en gasóleo". Si no hacemos un mínimo esfuerzo intelectual asumiremos las cifras sin más. Una reflexión rápida demuestra que el dato no se sostiene: muchos vehículos no alcanzan los 120 km por hora. Y otros se mueven solo o preferentemente por ciudad. El resultado es que el ahorro real se acerca más al 3% del total de combustible, 90 millones de litros al mes, la cifra que dio más tarde el Ejecutivo. Una cantidad notable, pero muy por debajo de la primera. Situar la cuestión en términos cabales nos permite dar fundamento a nuestras opiniones y tomar decisiones más responsables.

Una buena parte de las confusiones provienen de nuestra dificultad para manejar cifras muy grandes, por ejemplo, el número de asistentes a una manifestación. Antes de que iniciativas como las del Manifestómetro pusieran coto a la hiperinflación de asistentes, 300.000 personas parecían pocas para algunas concentraciones. Ahora sabemos que alcanzar esa cifra tiene mucho mérito. "Hagamos la prueba", dice Quirós, "de visualizar ese número". Por ejemplo, esas 300.000 personas ocuparían, a 60 por autobús, unos 5.000 autobuses. Y a 12 metros por vehículo, pegados el uno junto al otro, formarían una hilera de 60 kilómetros que llegaría de Madrid hasta Guadalajara. Y ahora ¿es pequeña una manifestación con 300.000 participantes?

Para Raúl Ibáñez, profesor de la Universidad del País Vasco, esa dificultad para abarcar mentalmente las grandes cifras constituye un primer grado del anumerismo que padecemos todos en mayor o menor medida. En un segundo escalón sitúa a las personas que, teniendo unos conocimientos básicos de matemáticas, se bloquean cuando se enfrentan a una fórmula. Por último, están los que no tienen las más mínimas nociones numéricas, equivalentes en otro plano a los que no saben leer.

¿Los medios de comunicación andan un poco mejor de matemáticas o contribuyen a amplificar los disparates? Josu Mezo, profesor de la Universidad de Castilla-La Mancha, lleva siete años comentando en su blog Malaprensa los errores -numéricos pero también de concepto o de sentido común- que cometemos los periodistas. Cree que muchos errores recurrentes ya no se repiten, aunque otros están enquistados. "Hace poco volví a ver ese titular de 'las comunidades con mayor número de denuncias -en términos absolutos- son Madrid, Cataluña y Andalucía"... "Pues claro", ironiza, "son las más pobladas, la noticia sería que fuera La Rioja".

Para Mezo la cuestión no es tanto de falta de habilidades, como de no estar alerta. Muchos periodistas, dice, "no tienen activado el nopuedeserómetro". "Saben hacer un porcentaje o una regla de tres, pero no tienen la rutina de pensar si algo tiene lógica, de compararlo con otros datos que conocen para saber si es un disparate". No cree que los profesionales de los medios estén mal formados, pero sí que muchos tienen una vocación literaria o quieren intervenir sobre el mundo. "No se dan cuenta de que su reto se parece más al de un científico que al de un escritor: deben entender y contar la realidad". Y le asombra que los planes de estudio no incluyan materias específicas para aprender a indagar.

Ibáñez coincide en no vendría mal a los periodistas una formación extra en matemáticas. Y alerta de un error frecuente en las informaciones: muchas noticias dan datos desnudos que no significan nada si no se comparan con otros. Pone como ejemplo un titular reciente: "El 87% de los conductores involucrados en atropellos son hombres". Y se pregunta: "¿Sabe el periodista qué porcentaje de conductores son de sexo masculino? Porque sin ese dato, la noticia no dice nada".

¿Se enseñan mal las matemáticas en España? El informe PISA, de 2009, sitúa a nuestros alumnos 11 puntos por debajo de la media de la OCDE (485 frente a 496), pero en niveles similares a los de compresión lectora o ciencia.

Los profesores de matemáticas, como los del resto de asignaturas se quejan de falta de tiempo y de la masificación de las aulas. Pero apuntan otros problemas específicos. Mercedes Sánchez, profesora asociada a la Universidad Complutense, señala que los chicos desarrollan la inteligencia abstracta a edades distintas y ahí se abre una brecha enorme que solo una enseñanza más personalizada podría cerrar porque "un niño en la masa se pierde". María Gaspar, presidenta de la Olimpiada Matemática Internacional que se celebró en Madrid en 2008, coincide en que la falta de tiempo es uno de los problemas: "Esta materia es muy constructiva, hay que subir los escalones uno a uno para quemar etapas". Añade otra dificultad: "Las matemáticas requieren trabajo constante, un esfuerzo que no todo el mundo está dispuesto a hacer". Y recuerda que la asignatura ha estado marcada por un cierto estigma: "Antes, el que destacaba era un bicho raro, ahora, los compañeros reconocen su valía".

En este punto del debate, Lledó recuerda un chiste "estupendo" de El Roto: "Las carreras con más futuro son las de caballos, dejo la Universidad y me paso al hipódromo". Esta reflexión toca un problema fundamental, según Lledó: "Se está enseñando a los chicos solo a ganarse la vida, que es la manera más triste de perderla". "Hacen falta", reflexiona, "profesores que entusiasmen y eso se pierde en una Universidad absolutamente pragmatizada, mera transmisora de mecanismos vacíos para resolver problemas. Y al final no se profundiza en ese otro asunto, el del cosmos extraordinario del universo abstracto que los seres humanos han sabido crear durante miles de años". Un conocimiento con beneficios, además, para el estudio de otras materias. Porque las matemáticas son "una buena medicina para la fluidez del pensamiento, un mundo de universos ideales que ayuda a la construcción de cualquier realidad".

¿Por qué se acepta con tanta indulgencia la frase "soy de letras" para excusar la falta de nociones muy básicas? "Nadie debería enorgullecerse", opina el filósofo Fernando Savater, "quizá es así porque es más fácil que en una tertulia salga un tema de cualquier otra materia". Savater reconoce que las matemáticas no son lo suyo pero admite que "mal se pueden entender determinados campos del conocimiento sin saber nada de números".

En su terreno, la filosofía, ha habido grandes matemáticos, como Platón -cuya academia estaba presidida por el cartel "nadie entre aquí que no sepa geometría"-, Descartes, Russell... pero también pensadores alejados de los números, como Nietzsche. "Si uno quiere dedicarse a la filosofía de la Ciencia, son imprescindibles; no tanto si se va a centrar en la metafísica". En su caso, sí le hubiera gustado saber más de matemáticas. "Estoy avergonzado, cuando mi hijo empezó el bachillerato le empujé a hacer el que combina letras y ciencias, para que no fuera como yo", dice Savater. Pero se resigna: "Es una carencia, pero uno tiene tantas...".

Recapitulamos. Las matemáticas tienen una aplicación práctica en otras ramas del saber. Ayudan a entender el mundo en el que vivimos, a tomar mejores decisiones, a ser ciudadanos más responsables y a vacunarnos contra la manipulación. Pero también pueden proporcionar alegría. Bertrand Russell decía en su ensayo La conquista de la felicidad que si no se había suicidado en su adolescencia fue porque quería saber más de matemáticas. Sin tanto dramatismo pero con el mismo entusiasmo, Lledó se emociona hablando de un mundo que no es estrictamente el suyo. "Tengo un hijo matemático y me doy cuenta de lo que goza con lo que descubre. Intenté leer su tesis doctoral, no entendía mucho pero sí me daba cuenta de que hablaba de un universo maravilloso". ¿Por qué esa fascinación por una realidad que ni siquiera podemos ver? "Tal vez porque somos fórmulas perfectas en un universo hilado en deducciones, análisis, intuiciones...", concluye Lledó.

Cuando los números contradicen a la intuición

El profesor Raúl Ibáñez, profesor de la Universidad del País Vasco y Premio J. M. Saviron de divulgación científica 2010, propone cuatro ejemplos de la vida cotidiana, algunos ya comentados por John Allen Paulos, que demuestran que saber un poco de matemáticas impide que nos dejemos engañar por las falsas apariencias.

- Coincidencia de cumpleaños. En ocasiones nos sorprendemos por "coincidencias" que no son extraordinarias. Por ejemplo. En una comida con 25 personas dos cumplen años el mismo día. La probabilidad de que eso suceda puede parecernos bastante baja, ya que hay 366 fechas posibles. Pero no lo es. A partir de 23 personas ya hay un 50% de probabilidades de que dos compartan día de nacimiento. Con 30 personas supera el 70%. Y en una reunión de 70 pueden apostar lo que quieran con garantías de ganar: supera el 99%.

- Saber y ganar. El concursante de un programa de televisión se enfrenta a la prueba final, en la que hay tres puertas. Detrás de una de ellas hay un coche, y tras las otras dos, nada. Elige una y el presentador ordena abrir alguna de las otras dos, siempre una sin premio. Entonces, tienta al concursante: "¿Desea cambiar de puerta?". La intuición nos dice que da igual, que tendremos un 50% de probabilidades de acertar. Pero no es así. Si nos quedamos en la misma solo tendremos una probabilidad de 1/3 (33%) de conseguir el premio, igual que al principio. Pero si cambiamos, la probabilidad de obtener el coche será de 2/3: seremos ganadores siempre que nuestra primera opción no fuera la correcta. Y partíamos con un 66% de probabilidades de equivocarnos.

- Diagnóstico terrible. Nos hacen una prueba para averiguar si padecemos una grave enfermedad que afecta a una de cada 200 personas. El análisis tiene el 98% de fiabilidad, esto es, falla el 2% de las veces. Damos positivo. ¿Debemos asustarnos? Sí, pero no en exceso. La probabilidad de que padezcamos el mal es del 20%. De cada 10.000 personas, unas 50 tendrán la enfermedad. De ellas, 49 obtendrán un resultado positivo en la prueba y una dará negativo (por el margen de error). En cuanto a la población sana (9.950 personas), 9.751 darán negativo y 199 positivo. Luego la mayoría de las personas diagnosticadas del mal en ese análisis (199 de 248) serán en realidad falsos positivos (80%).

- ¿Es tan improbable? 30 personas van a una fiesta y dejan su sombrero en un perchero. A la salida, cada una toma uno sin fijarse bien si es el suyo. ¿Qué probabilidad hay de que ninguna acierte? La intuición nos señala que es muy difícil que suceda, pero no lo es tanto. La probabilidad de que ninguno de los asistentes se lleve su sombrero es de alrededor del 37%. Aproximadamente la misma, por cierto, que la de que acierte solo uno.

Nuevo avance en Matemáticas

Una nueva teoría matemática revela la naturaleza de los números. Se ha desarrollado la primera fórmula finita para calcular las particiones de cualquier número

Abc, 21/01/2011 - 20.51h

Durante siglos, algunos de los matemáticos más importantes han tratado de dar sentido a las particiones de los números, la base para sumar y contar. Muchos matemáticos han añadido piezas importantes al puzzle, pero todos se quedaron cortos al tratar de ofrecer una teoría completa que explicase las particiones. Por el contrario, su trabajo ha generado más preguntas sobre esta área fundamental de las matemáticas. Ahora, Ken Ono, matemático de la Universidad de Emory, ha desvelado nuevas teorías que responden a los interrogantes. Ono y su equipo de investigación han descubierto que las particiones de un número se comportan como fractales. De esta forma, han desarrollado una teoría matemática para «ver» su súper estructura infinitamente repetida. Así, han ideado la primera fórmula finita para calcular las particiones de cualquier número. El trabajo ha sido patrocinado por el Instituto Americano de Matemáticas (AIM) y la Fundación Nacional de Ciencia.

«Nuestro trabajo trae ideas completamente nuevas a estos problemas», dice Ono. «Hemos demostrado que las particiones de números son ‘fractales’ para cada primo. Nuestro procedimiento de “aumento” resuelve varias conjeturas abiertas, y cambiará la forma en que los matemáticos estudian las particiones».

«Ken Ono ha logrado unos avances absolutamente sobrecogedores en la teoría de particiones», asegura George Andrews, profesor de la Universidad Estatal de Pennsylvania y presidente de la Sociedad Matemática Americana. «Ha demostrado propiedades (...) asombrosas. Es un fenómeno»

Un juego de niños

A primera vista, las particiones de números parecen un juego de niños. La partición de un número es una secuencia de enteros positivos que se suman para formar ese número. Por ejemplo, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. Por lo que decimos que hay cinco particiones para el número 4. Suena simple, y aún así la partición de números crece a un ritmo increíble. La cantidad de particiones de 10 es 42. Para el número 100, la partición explota a más de 190 millones.

«La partición de números es una loca secuencia de enteros que rápidamente se va a infinito», señala Ono. «Esta provocadora secuencia genera asombro, y ha fascinado desde hace mucho a los matemáticos». Hasta el avance del equipo de Ono, nadie había sido capaz de desvelar el secreto del patrón complejo subyacente a este rápido crecimiento.

A principios del siglo XX, Srinivasa Ramanujan y G. H. Hardy inventaron el método del círculo, el cual arrojaba la primera buena aproximación a las particiones de números por encima de 200. «Es como Galileo inventando el telescopio, permitiéndote ver más allá de lo que se ve a simple vista, aunque la visión es tenue», apunta Ono. En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para el cálculo de valores de particiones. Aunque el método era una gran mejora respecto a la fórmula exacta de Euler, requería sumar infinitamente muchos números que tienen infinitas cifras decimales. En las siguientes décadas, los matemáticos han seguido trabajando sobre estos avances, añadiendo más piezas al puzzle. Ono batalló con los problemas durante meses y su eureka llegó en septiembre, cuando estaba de excursión con sus colegas en las Cataratas Tallulah, en el norte de Georgia. Cuando andaban entre los bosques, notando los patrones en los cúmulos de árboles, pensaron que podría ser similar a «andar» entre las particiones de números. Se echaron a reír. Ya casi lo tenían. El trabajo de Ono y sus colegas ha dado como resultado dos artículos disponibles en la web de la AIM

Enseñanza en Asia

En una clase de secundaria de Shanghai la demostración de un teorema matemático es igual que en Francia. Pero la rapidez de funcionamiento de la clase, la concentración de los alumnos y su agilidad en las respuestas, o la preparación y organización de los temas de cada sesión que realiza el profesor, no. "En la clase de Shanghai hay algo muy bien pensado, muy bien estructurado desde el punto de vista de la función docente y de la interacción del alumno con el profesor. No se observan muchas clases así en mi país", sostiene Michelle Artigue, presidente de la Comisión Internacional de Educación Matemática (IMIC) y catedrática de la Universidad de París VII. El "éxito" reside en "dos claves", según Artigue, "en el nivel de disciplina y concentración de los alumnos y en el trabajo que realizan después de clase. No es comparable con el de Europa".

Los estudiantes de algunos países del sudeste asiático (entre ellos, Corea, Taiwán o China) han superado con creces a sus homólogos del mundo entero en el campo de las matemáticas en estudios internacionales como TIMMS o PISA. Sin embargo, "este éxito no parece haber ido acompañado por las correspondientes actitudes positivas hacia las matemáticas", indica Frederic K. S. Leung, de la Universidad de Hong Kong y profesor corresponsable del estudio junto a Artigue. Es decir, los buenos resultados académicos no son proporcionales al volumen de estudiantes que después se dedicarán a las matemáticas.

Buscando explicaciones de estos "resultados" y "actitudes" de los alumnos se han examinado algunas características relevantes que se resumen en los resultados del TIMSS Video Study, que se analizaron el jueves y viernes en Valencia, de la mano de los principales expertos asiáticos y occidentales en educación matemática de Finlandia, China, Corea, Hungría, Nueva Zelanda, Taiwán, Hong Kong, EE UU, India y España reunidos en un congreso internacional sobre Los paradigmas de la educación matemática para el siglo XXI. El estudio concluye que "el éxito en los resultados y las actitudes que presentan los estudiantes del sudeste asiático no pueden atribuirse sólo a las peculiaridades del entorno o a la manera en que se imparten las clases en estos países". Por primera vez, "se han propuesto factores culturales como posibles explicaciones tanto de los resultados obtenidos como de las actitudes mostradas". Entre ellas, el valor de la disciplina, de la autoridad docente y de la educación como factor de promoción social, que priman en los países de tradición confuciana frente a los de la cultura judeocristiana, admite Artigue. Leung menciona "la importancia de la familia en el valor que se le da en China al aprendizaje escolar. Los padres ayudan a sus hijos en las tareas e invierten mucho dinero en clases".

La segunda conclusión es que "Asia no es uniforme", apunta Manuel de León, director del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC. Una clase de matemáticas en Japón es más parecida a una en Francia o Alemania. "Hay que investigar más para entender cómo la cultura influencia la manera de aprender y enseñar la visión de las matemáticas. Porque, pese a que las matemáticas son un lenguaje universal, hay diferencias muy grandes, incluso entre los propios países europeos entre una clase de matemáticas en Inglaterra o en Francia", subraya Artigue.

Por el contrario, según Wei-Chi-Yang, el fundador de la Conferencia Asiática, el sistema coreano tiene también sus factores negativos. "Yo lo aprendí todo de memoria, por eso quiero ofrecer otras cosas a los alumnos. Y las Nuevas Tecnologías son un factor clave para la creatividad y la motivación". Chi-Yang confiesa que este sistema tan disciplinado de enseñanza resultó un lastre al realizar su tesis doctoral de forma individual, y lo es si no se enseña también a ser críticos. Aunque reconoce que sus resultados son mejores que los de los alumnos estadounidenses. Entre otras razones, porque casi el 50% de profesores estadounidenses ni siquiera tiene la especialidad de matemáticas o no han finalizado la asignatura de Cálculo. Mientras que en Corea, "aunque no tengo que enseñar cálculo, lo aprendo". "Creo que el nivel del profesorado es muy alto. Y están muy bien pagados".

En India, el país de los brahmanes, que están en la cima de la sociedad y son considerados unos eruditos, "la educación es un factor clave de promoción social". Pero también lo es el "factor demográfico", según Eva Borreguero, directora de programas educativos de Casa Asia. "En un país con 1.300 millones, estudiar es un privilegio: muchas veces se tienen que desplazar kilómetros para ir a la escuela, y las familias lo valoran mucho".

Luis Puig, de la Universidad de Valencia, sostiene que aunque los alumnos españoles según los informes PISA de 2003 y 2006 aparecen en el furgón de cola en Matemáticas, Ciencias y Lectura, "la realidad no está tan mal". Porque, al contrario que los asiáticos que suben la nota porque tienen una media muy alta de buenos alumnos, lo que neutraliza a los muchos malos, en España el sistema es más equitativo y no se acentúan tanto las diferencias. Aunque insiste en la necesidad de "un pacto de Estado", que libere a las leyes educativas de los vaivenes políticos, otorgue estabilidad y se revaloricen la escuela y la función docente.

Un currículo común

"La creatividad no se obtiene con ejercicios memorísticos", sostiene Wei-Chi-Lang, que fue muy crítico con el sistema coreano, pero que defiende que las "matemáticas" tanto en Corea como en China son "una asignatura privilegiada". Se ha pasado del uso de las calculadoras científicas en clase a la generalización de los ordenadores e Internet. Aunque abundan las desigualdades por regiones. En Francia, desde 2004 se ha incluido la competencia tecnológica en el examen oral de los futuros profesores. Pero el ordenador es sólo el principio. "La gente confía en la máxima de Confucio, si le das a un hombre un pescado, le das comida para un día. Pero si le enseñas a pescar, comerá toda la vida". En matemáticas funciona igual: "Si se memoriza una fórmula se aprueba un examen; si se entiende se pueden descubrir muchas matemáticas", concluye Chi-Lang. En esa dirección caminan el Proyecto Klein, que dirige el neozelandés Bill Barton, para crear un "currículo común de 300 páginas" para que los profesores combinen conocimiento, creatividad y nuevas tecnologías. Y el proyecto europeo Intergeo, de recursos en red, que se presentará en dos semanas.

Sentido de las matemáticas

Hija (de la mano de su padre, camino al cole):

¡Qué asco! Hoy tengo matemáticas.

Padre:

¿Por qué te dan asco las matemáticas? No hay mejor cosa en el mundo que resolver problemas.

Hija:

Pero soy yo quien los tengo que resolver.

(Desconcertado, el padre se sume en profundas cavilaciones)