Javier Fresán (Pamplona, 1987) es un joven matemático, inquieto, sagaz. Ha publicado varios libros de divulgación y recibido premios y distinciones que no vamos a enumerar aquí; él tampoco le da mayor importancia. De trato fácil y cercano, se muestra presto y generoso con la curiosidad de la gente, dispuesto siempre a hablar de matemáticas —y de lo que no son matemáticas—. Nos contará, entre otras, por qué es más sencillo resolver un problema matemático que amoroso o qué es lógica matemática y qué no lo es, si acaso podemos llegar a saberlo todo o por qué se ha dicho que una máquina no puede alcanzar al hombre. Desmenuzando mitos y dimes y diretes relacionados con la ciencia y sus alrededores se nos pasó la mañana volando, como debe ser. Y ahora vamos a contárselo.
Leibniz anticipó la aritmética binaria en 1679 en un ensayo póstumo titulado Demostración matemática de la creación y ordenación del mundo. El lema de la cubierta rezaba Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (para generar el todo de la nada basta el uno). ¿Cuánto hay de matemático en esta frase y cuánto de metafísico?
Lo que hay de metafísico es la forma de enunciarlo; un matemático actual nunca lo plantearía en esos términos. Es curioso, porque los matemáticos del siglo XVIII utilizaban la palabra «metafísica» para referirse a una serie de ideas y analogías vagas que, a pesar de su formulación imprecisa, representaban un papel importante en sus investigaciones: eran su guía. Por ejemplo, leyendo sus obras podemos encontrarnos con una expresión como «la metafísica del cálculo infinitesimal». Lo explica André Weil en una nota de un par de páginas, que se titula precisamente De la metafísica a las matemáticas. La frase de Leibniz podría ser metafísica en este sentido. Convertirla en matemáticas es una tarea delicada; de hecho, si no supiera que habla de la aritmética binaria, mi primer reflejo habría sido interpretarla como una construcción, muy avant la lettre, de los números naturales a partir del cero, que es el cardinal del conjunto vacío. Leibniz diseñó un medallón con ese lema, que hace unos años se transformó en otro en homenaje a Gregory Chaitin y su constante Ω.
Te voy a contar algo sobre Leibniz que a mí me gusta mucho, tenía una idea que nunca pudo llevar a cabo: la de crear una lengua universal. Uno de los milagros de las lenguas —habría que decir del cerebro— es que, a partir de unos materiales relativamente pobres, seguimos produciendo combinaciones nuevas después de que millones de hablantes hayan usando las mismas palabras durante siglos. ¿Quién no ha tenido esa sensación al leer a un gran poeta? Aun así, Leibniz soñaba con un catálogo de ideas básicas que permitiera producir todas las demás. La idea de lago, por simplificar mucho, podría ser un compuesto de agua y de quietud, que formarían parte del catálogo. Lo que me más interesa es que el sueño de Leibniz sirvió probablemente de inspiración a Gödel para lo que hoy se conoce como gödelización, un modo de codificar los enunciados de la aritmética. Gödel había estudiado con fervor a Leibniz en sus años de formación, pero es una hipótesis difícil de demostrar.
Si llamamos autológico a un adjetivo que se aplica a sí mismo (por ejemplo «corto», que es corto) y heterológico a un adjetivo que no se aplica así mismo (por ejemplo «largo», que es corto), ¿de cuál de los dos tipos sería el adjetivo «heterológico»?
(risas) ¡Quieres que caiga en la paradoja de Russell! Fíjate qué historia: principios del siglo XX, Bertrand Russell está en su casa tranquilamente estudiando la obra de Frege y encuentra una paradoja de una simplicidad incontestable que da al traste con todo el proyecto de reducir las matemáticas a la lógica: es lo que él llama «el final de las mañanas alegres y felices». Lo cuenta Russell en su biografía: se pasó semanas, meses, sentado frente a un papel en blanco intentando resolver el problema. Cuando al fin se decide a escribir a Frege, el lógico alemán está corrigiendo las pruebas del segundo volumen de Los principios de la aritmética. En lugar de derrumbarse o de odiar a Russell, reconoce el error con la honestidad intelectual que debería caracterizar a cualquier científico. Y añade una nota a pie de página explicándolo. Su historia aún tiene mucho que enseñarnos. A menudo se ve en las paradojas el desencadenante directo de una crisis de fundamentos, pero la realidad suele ser más compleja: muchas veces las paradojas surgen porque alguien ya está removiendo los fundamentos. Gracias a la paradoja de Russell, se comprendió que no se podía basar una teoría rigurosa de conjuntos en la definición intuitiva de conjunto como una colección de cosas. Si así fuera, se podría construir el conjunto de todas las cosas que verifican una cierta propiedad y, cuando esa propiedad es «no ser miembros de sí mismos», surge una contradicción (otra respuesta consistirá en decir que «ser miembros de sí mismos» no es una propiedad bien definida, porque solo se puede aplicar la pertenencia a elementos de distinto tipo). Me pregunto qué conceptos hoy en día están en la misma situación que los conjuntos a principios del siglo XX.
El fenómeno de la paradoja no solo es fascinante en las matemáticas; en el ámbito comunicativo es el fundamento de las patologías psíquicas más graves. ¿La racionalidad del pensamiento impone un límite al concepto que una persona puede tener de su relación con el cosmos?
No me veo capacitado para responder a esta pregunta. Solo puedo decirte que la experiencia nos enseña que quienes no ponen límites viven en la irracionalidad más absoluta. El día a día de un matemático despierta mucha curiosidad. Una pregunta típica de sobremesa es si es más fácil resolver un problema de matemáticas o un problema de la vida, por ejemplo, una relación amorosa complicada. ¡No hay duda! Los problemas matemáticos sabrás resolverlos o no, pero al menos están bien formulados. Darse cuenta de que hay cuestiones que escapan a este tipo de formulación forma parte de esos límites…
Gregory Bateson decía que la lógica ordinaria no encaja con el ser humano porque para las personas estar en contradicción es una regla, no una excepción. ¿Existen otros tipos de lógica que puedan explicar los procesos cognitivos que no son puramente racionales?
Me gusta la cita. A menudo, de forma coloquial, utilizamos la palabra «lógica» como sinónimo de «sentido común», por ejemplo, cuando decimos que alguien actuó «con lógica». Eso no tiene nada que ver con la lógica matemática, que se ocupa más —por llevar las cosas a un extremo— de cómo «piensa» una máquina que de cómo piensa un ser humano; esa línea de pensamiento dio lugar precisamente a las máquinas de Turing. Un obstáculo fundamental para explicar los procesos cognitivos es que esta lógica clásica admite solo dos valores de verdad: verdadero o falso. Y eso es muy restringido, sobre todo cuando se trata de tomar decisiones. En 1917 Łukasiewicz propuso una lógica trivaluada, en la que un enunciado puede ser verdadero, falso o posible. Ese primer paso se radicalizó más tarde con la lógica borrosa, en la que los valores de verdad posibles son los números reales entre 0 y 1. Hace pensar en la probabilidad, pero es muy distinta: cuando tiras una moneda al aire, el resultado no deja de ser cara o cruz, aunque no podamos predecirlo; en la lógica borrosa, sin embargo, hay que imaginar monedas que caen 25% cara y 75% cruz, por decir algo. Esta idea ha tenido aplicaciones sorprendentes: hay, por ejemplo, «lavadoras borrosas» que deciden la duración del lavado o cuánto detergente hace falta en función de un valor de suciedad. De hecho, la publicidad de una de esas lavadoras nos prevenía de que la era borrosa había llegado. Hay todavía propuestas más radicales, como la lógica cuántica, pero eso nos llevaría demasiado lejos…
Además de escribir libros has colaborado con varios medios de comunicación como El País, Público o la revista de literatura Clarín. ¿Sientes la crisis del periodismo desde donde escribes?
No puedo no sentirla, porque fui testigo directo del hundimiento de Público. No entremos en la penosa historia de un señor que juega a ser dueño de un periódico de izquierdas y un día despide a todos sus empleados porque no puede pagarles y al día siguiente compra el periódico que él mismo ha vendido, pero esta vez sin periodistas. Yo desde luego no he vuelto a visitar la edición digital desde entonces. Quedémonos con lo bueno: era la mejor sección de ciencias que ha tenido un periódico en español en los últimos años. Yo aprendí mucho de esas colaboraciones. Sobre todo de mis rifirrafes -siempre cariñosos- con la jefa, Patricia Fernández de Lis, a propósito de si un tema tenía «percha» o no, o de si mis artículos sobre los números primos eran más difíciles de leer que los que hablaban de aceleradores de partículas; le estoy muy agradecido. Y era un placer ir al quiosco y encontrarse con artículos de Lucas Sánchez o de José María Mateos, que tantas cosas me han enseñado. No sé qué paso: ¿nunca se recuperaron de aquella gran apuesta publicitaria de los 50 céntimos? Por suerte, la web Materia está llenando ese vacío.
¿Te atreves a decir hacia dónde se dirige la prensa escrita con los nuevos cambios de paradigma?
No. Si lo supiera ¡ya estaría haciendo la prensa del futuro! (risas)
Cuando entrevistaste a Pierre Cartier para Público, él reconoció que le gustaba ser un «matemático sin fronteras para contribuir a la paz o para ayudar a los matemáticos que luchan contra los regímenes dictatoriales». ¿Cómo puede la ciencia, en este caso las matemáticas, ayudar políticamente a un país?
Esa es una muy buena pregunta. Pierre Cartier es un personaje fascinante, al que tengo la suerte de tratar a menudo. La cita procede de una conferencia que dio en la Residencia de Estudiantes de Madrid, y que yo he traducido al español: son las memorias de un matemático comprometido. Tienes que pensar que el científico ya no es ese genio solitario que, tras meses de aislamiento en su laboratorio, da al mundo una obra magnífica. El contacto con otros colegas es continuo, ya sea a través de congresos o simplemente del correo electrónico, y eso crea unas redes muy potentes. La idea de Cartier es que se pueden utilizar esas redes para ayudar a países menos desarrollados o que viven bajo dictaduras, por ejemplo ofreciendo a los estudiantes la posibilidad de hacer el doctorado en Europa. Es una pequeña ayuda, pero cambiar una vida ya es mucho.
Otro aspecto interesante de la cuestión es la impenetrabilidad del trabajo matemático. Un día de enero de 1936, Shostakovich descubre, al leer Pravda, que ha caído en desgracia: su música es «intelectualista» y el hermetismo es «un juego que podría terminar mal»; parece que el artículo lo escribió el propio Stalin. Es difícil que eso le ocurra a un matemático, aunque haya matemáticas más «intelectualistas» que otras. No es una casualidad que, en la antigua URSS, muchas personas, que en otras circunstancias se habrían dedicado a la literatura o la filosofía, encontraran un refugio en las matemáticas. Es imposible que un régimen ataque a un matemático sin la colaboración de otros matemáticos: si permanecen unidos, son invencibles. Lo cual tampoco es un gran consuelo porque, como en cualquier otra profesión, siempre habrá diez personas dispuestas a denunciarte…
¿El caso contrario fue el de André Weil?
De esa historia no sabemos mucho más que lo que él mismo nos cuenta en Memorias de aprendizaje, su espléndida biografía. Weil había decidido desertar si lo llamaban a filas. Cuando estalló la guerra estaba de vacaciones al borde de un lago en Finlandia, cerca de la frontera rusa, junto a su mujer, Éveline. Todos los días trabajaban varias horas en una barca: él en un informe para Bourbaki, ella en unas prácticas de estenotipia. No es de extrañar que los dueños del hotel en el que se alojaban los tomaran por espías (algo que, por cierto, también le ocurrió a Gödel en un pueblecito del estado de Maine). Se abrió un dossier sobre Weil en la comisaría de Helsinki y lo detuvieron. Siempre según su versión, un matemático con simpatías nazis le salvó la vida y, tras toda una serie de vicisitudes, regresó a Francia para cumplir condena por deserción. Nunca se lo perdonarían. Weil se vio obligado a hacer carrera en los Estados Unidos: primero en Chicago, luego en Princeton. Es muy triste leer ese capítulo de su correspondencia con Henri Cartan, en el que se ve cómo, pese a los esfuerzos de su fiel amigo y colaborador, una y otra vez candidatos infinitamente menos valiosos que Weil obtienen las plazas a las que él se presenta.
Ganaste el premio Arquímedes de introducción a la ciencia cuando cursabas la carrera, lo que te permitió hacer una estancia en el CSIC. Sin embargo, has decidido desarrollar tu carrera de investigador en Francia. ¿Qué ventajas tiene la investigación matemática con respecto a España?
Creo que la idea de una «ciencia nacional» pertenece al pasado. En un mundo como el nuestro, ¿a qué país pertenecen los descubrimientos? ¿Al que los paga? ¿Al del laboratorio en el que se realizan? ¿Al que, por un azar completo, vio nacer a los científicos que los realizan? Skype o arXiv tienen muchos más derechos que cualquier país sobre un teorema escrito en colaboración. Yo cuando me pongo a pensar en un problema, no me siento español ni francés: pienso en el problema. Pero no creas que estoy esquivando la pregunta: me fui a París en un momento en el que me apetecía irme a París y pensaba que la ciudad tenía cosas que ofrecerme. Después de cinco años, todavía me sigue sorprendiendo que, en un curso sobre la Divina Comedia en el Collège de France, haya que llegar media hora antes porque, si no, te quedas sin sitio en el inmenso anfiteatro, o que cien personas hagan cola bajo la lluvia para ver la nueva copia de Il Gattopardo. Volviendo a las matemáticas, hay que decir que en geometría algebraica y teoría de números París es invencible. No solo por una tradición de más de doscientos años, sino porque es un aglomerado de universidades y centros de investigación; apenas exagero si te digo que, si te apetece hablar con alguien, solo tienes que esperar un poco: antes o después pasará por allí. Y eso no es que no ocurra en España, ¡es que no ocurre en casi ningún sitio! Dentro de poco cambiaré París por el Max Planck Institute de Bonn, y no lo hago con melancolía: es una nueva aventura. La matemática española ha avanzado espectacularmente en los últimos años: hay excelentes matemáticos trabajando en áreas muy variadas: ecuaciones en derivadas parciales, teoría de Hodge, geometría aritmética, sistemas dinámicos. Antonio y Diego Córdoba, José Ignacio Burgos, Vicente Muñoz, Ricardo Pérez Marco… Que nadie se enfade: te digo solo los primeros nombres que me vienen a la cabeza. Me da miedo que las barbaridades políticas que estamos sufriendo frenen esa evolución. Ya casi es imposible conseguir una beca de doctorado en España. ¿Qué va a pasar con la generación siguiente?
Victoria Ley nos decía cuando la entrevistamos que en España a los matemáticos les cuesta bastante participar en programas de transferencia tecnológica. ¿En Francia cuál es la situación?
Pues creo que para un matemático puro la situación es la misma.
En El sueño de la razón comentas que Kurt Gödel aparece en varias ocasiones en la tira cómica Xkcd autodenominado «un cómic web de romance, sarcasmo, matemáticas e idioma». ¿Existe una versión del Teorema de Gödel para dummies o por su naturaleza ello es imposible?
Hace un par de años, Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro publicaron Gödel para todos, que es uno de los mejores libros de divulgación sobre el tema que conozco. En el prólogo mencionan un ensayo de Ernesto Sábato, en el que un físico trata de explicar a un amigo qué es la relatividad. Empieza hablando de curvatura, tensores y geodésicas, pero se ve obligado a rebajar poco a poco el nivel del discurso para que su interlocutor entienda; al final solo quedan trenes y cronómetros. «¡Ahora sí entiendo la relatividad!», exclama, entusiasmado, el amigo. «Sí, pero ahora ya no es la relatividad». Lo mismo ocurre con muchas otras ramas de la física y la matemática moderna: solo gracias a las metáforas pueden llegar al gran público. Y, por bellas que sean, aunque conecten áreas distintas del cerebro, como decía Platón, las metáforas están condenadas a desvirtuar teorías cuya comprensión requiere años y años de aprendizaje. Esa es la soledad del matemático.
El teorema de Gödel constituye una feliz excepción a esta regla. Su contenido se puede explicar como un problema de equilibrio en los sistemas axiomáticos y basta un poco de paciencia para dar una idea de las grandes líneas de la demostración. Supongamos que queremos fundar una teoría partir de una serie de principios básicos: necesitamos saber cómo escogerlos, de modo que podamos demostrar el mayor número posible de enunciados. El objetivo último sería demostrar todos los enunciados verdaderos para crear una teoría completa. Podríamos pensar que más axiomas conllevan más teoremas pero no nos conviene elegir demasiados porque, si lo hacemos, corremos el riesgo de demostrar una afirmación y su negación, y eso daría lugar a una teoría llena de contradicciones; en lenguaje técnico, decimos que no es consistente. Otra de las propiedades deseadas es la recursividad, algo más difícil de explicar que la consistencia, pero que consiste esencialmente en ser capaces de distinguir, mediante un número finito de operaciones, si un enunciado cualquiera de nuestra teoría es un axioma o no. Así que consistencia, recursividad y completitud. El teorema de Gödel dice simplemente que es imposible tener las tres cosas a la vez: si una teoría es consistente y recursiva, entonces no es completa. Es decir, siempre existirán enunciados sobre cuya validad nuestros axiomas no puedan pronunciarse.
El teorema de Gödel ha sido utilizado conceptualmente por diferentes disciplinas sociales. En sus Imposturas intelectuales Sokal y Bricmont desmontan las teorías al respecto de varios intelectuales como Kristeva, Deluze o Lacan. ¿Tiene sentido aplicar el teorema de Gödel fuera del ámbito de las matemáticas, en el ámbito de las ciencias sociales?
A mí la historia de las impostura sociales es un tema que me encanta. Es una de esas cosas que me hubiera gustado hacer a mí. La historia es que el físico Alan Sokal, cansado de ver cómo algunos popes de ciertas corrientes de las ciencias sociales utilizaban conceptos científicos con el único objetivo de apabullar al lector, decide escribir una parodia de ese tipo de literatura y enviarla a la revista de mayor impacto del área. El artículo, con un título tan improbable como Transgrediendo las fronteras: hacia una hermenéutica transformativa de la gravedad cuántica es aceptado, y cuando, poco después, su autor revela que se trataba de una broma, estalla un gran escándalo que llega a ser portada del New York Times. El libro Imposturas intelectuales, escrito en colaboración con el también físico Jean Bricmont, es una especie de versión ampliada, que explora sistemáticamente el abuso de una serie de ideas matemáticas y físicas por parte de los filósofos que has citado.
El teorema de Gödel, tal y como es, es un enunciado que habla de las matemáticas, de la aritmética, de las teorías axiomáticas, etc. Eso hace que sea prácticamente imposible aplicarlo a cualquier cosa de forma rigurosa que no sean las propias matemáticas; nada realmente es axiomático fuera de las matemáticas, ni siquiera la física, que sería lo más cercano. Sobre él se han dicho cosas como que explica «por qué hay que momificar a Lenin y exhibirlo a los camaradas en un mausoleo». Y 15 años después del caso Sokal aun me encuentro con un crítico literario capaz de escribir «si usamos un método científico para medir poemas, parece más interesante la estratigrafía que la topología, cuyas limitaciones, incluso en el propio campo matemático, quedaron demostradas por Gödel». Esto hay que verlo de forma positiva. Es decir, es un teorema que tiene tanto éxito, es tan fuerte, lo que dice es tan interesante que gente de lo más variopinta intenta aplicarlo. Por supuesto, es muy tentador preguntarse cuáles serían sus consecuencias para las realidades que nos rodean: a mí mismo me divierte imaginar una novela como un pequeño mundo axiomático, en el que siempre habrá alguna información sobre el protagonista que seré incapaz de conocer. ¿Llegaremos a saber algún día por qué se llama Quirke el detective de Benjamin Black? Pero sé que es solo un juego.
Sin embargo, en Hasta que el álgebra nos separe narras mediante un fascinante diálogo entre Lévi-Strauss y André Weil cómo las matemáticas pueden echar un cable a la observación participante. ¿De qué manera colaboraron estos dos grandes científicos del siglo pasado?
Esta es una historia distinta, realmente apasionante. Cada uno de ellos por sí solo lo es, de hecho. El mismo André Weil, casi fusilado en la frontera, era un tipo que había viajado muchísimo, durante toda su vida, dominaba bastantes lenguas, leía a los clásicos hindúes en sánscrito y en matemáticas hizo unas contribuciones increíbles.
Durante su estancia en Brasil, Lévi-Strauss se dio cuenta de que todas las tribus que estudiaba prohibían de algún modo el incesto, aunque el grado de permisividad fuese muy variable. Eso le lleva a formular la hipótesis de que la prohibición del incesto es una especie de eslabón entre la naturaleza, con sus leyes universales, y la cultura, en la que las reglas cambian de una sociedad a otra. Para respaldar su hipótesis, se lanza a un estudio exhaustivo de las relaciones de parentesco en las tribus que conoce y en otras muchas documentadas en la literatura. Hasta que se topa con los Murngin, unos aborígenes del norte de Australia, cuyas reglas de matrimonio no consigue explicar con los métodos que había usado hasta entonces (basados esencialmente en la enumeración de todos los casos posibles). Decide pedir ayuda a un matemático, pero el primero al que lo hace, Jacques Hadamard, le responde que «en matemáticas solo hay cuatro operaciones, y el matrimonio no es una de ellas». Fin de la colaboración. Por suerte, Lévi-Strauss conoce a Weil en el exilio neoyorquino. Weil, un hombre de una curiosidad insaciable, que había viajado mucho, que lo había leído todo; enseguida se interesa por el problema, y lo resuelve usando la teoría de grupos. El resultado será un apéndice a Las estructuras elementales del parentesco, la tesis doctoral de Lévi-Strauss.
Pero date cuenta que, al contrario del uso que hacen de la matemática Lacan y compañía, la colaboración de Weil y Lévi-Strauss se produce en un marco en el que sí que es posible crear modelos axiomáticos simplificados (de ahí el «elemental» del título). Si establecemos como hipótesis, pongamos, que todos los miembros de una tribu pueden casarse y que a cada uno de ellos le corresponde un único tipo de matrimonio que depende solo de su sexo y del tipo de matrimonio de sus padres, hemos reducido el estudio a un problema de teoría de grupos. Esa fue la intuición genial de Weil. Como él mismo explica en los comentarios a sus obras completas, el reto más difícil al que se enfrenta un matemático, al abordar un problema de matemática aplicada, consiste en traducirlo a su propio lenguaje. Me pareció que una historia tan atractiva como esta era la excusa perfecta para explicar al gran público algunas ideas de la teoría de grupos. Y como me divierte explorar nuevas formas de divulgación, decidí hacerlo mediante un diálogo entre sus protagonistas.
¿El estructuralismo ha matado definitivamente en matemáticas al intuicionismo?
Yo creo que no. Quiero decir, el estructuralismo suele ser, salvo en raras excepciones, un proceso posterior al descubrimiento matemático, un modo de dar forma y de adecuar a los estándares de rigor modernos el resultado de un fenómeno inexplicable en el que se mezclan la intuición, la analogía y el análisis de ejemplos. La propia historia de Bourbaki lo confirma: históricamente, el movimiento surge tras una serie de avances extraordinarios a finales del siglo XIX y en el primer tercio del XX (la teoría de conjuntos, la topología algebraica, los espacios de Hilbert, el álgebra moderna…). Por supuesto, la disección minuciosa de estas teorías dio lugar a nuevas propiedades, pero, de algún modo, lo esencial ya estaba allí. La gran contribución de Bourbaki fue crear un lenguaje matemático universal que sirviera lo mismo para la lógica que para la geometría algebraica o la probabilidad. Cada matemático tiene su método: hay quienes abordan los problemas situándose en estructuras lo más generales posibles y quienes prefieren una solución elemental para estar seguros de que es correcta. Pero hoy en día todos somos hijos de Bourbaki.
André Weil, como tú ya has comentado, fue uno de los fundadores del grupo Bourbaki, responsables entre otras cosas de hacer que los que empezamos en la EGB en los 70 odiásemos las matemáticas (aquello de los conjuntos, los cardinales…). Cuál es la pedagogía matemática más efectiva, ¿la de la abstracción o la contextualizada históricamente?
No creo que los miembros de Bourbaki fueran responsables de esa deriva pedagógica, sino una serie de conversos que, por normal general, no eran matemáticos. Y ya se sabe que los conversos son siempre los más fanáticos. Yo tuve la suerte de que me enseñaran 2+3=5 y no que «el cardinal de la unión disjunta de un conjunto de cardinal dos y de un conjunto de cardinal tres es cinco» (risas). Los excesos de aquella época no solo tuvieron consecuencias negativas para la generación que los sufrió, sino también para todas las posteriores porque, para paliarlos, se decidió eliminar toda abstracción de la enseñanza de las matemáticas. Se prohibieron las demostraciones, y este extremo es igual de malo que el otro. Eso no quiere decir que haya que volver a una pedagogía axiomática: lo ideal sería un método casi experimental en el que los conceptos vayan apareciendo poco a poco.
En un texto muy iluminador sobre la educación matemática, Vladimir Arnold explica que, en los años 60, dio un curso de teoría de grupos a alumnos de instituto; alejándose de los detalles técnicos y sin perder nunca de vista la física, en un semestre llegó a explicar la insolubilidad por radicales de la ecuación de quinto grado. También John Conway cuenta en una entrevista reciente que no decide el tema de una charla en función de la formación del público, sino solo la forma de tratarlo: si los estudiantes son jóvenes, insiste más en las ideas que en los detalles. Sin ser tan ambiciosos, ¿cómo es posible no explicar por qué hay infinitos números primos o por qué la raíz cuadrada de dos es irracional? Son dos ejemplos de demostraciones accesibles a todo el mundo, que además permiten enseñar una técnica muy útil en el razonamiento matemático: la reducción al absurdo. Eso es lo que echo de menos en la enseñanza de las matemáticas. Te confesaré que nunca me han interesado los juegos de mesa, y creo que es porque no tengo ninguna motivación para ganar. Con las matemáticas pasa lo mismo: es difícil interesarse por un problema si lo único que te enseñan son los pasos para resolverlo, sin saber por qué ese problema es interesante o dónde surge o quién lo ha estudiado antes que tú.
Clara Grima nos decía en una entrevista que en Japón, por ejemplo, hay programas matemáticos en la televisión con audiencias muy altas. ¿A qué se debe?
No veo ninguna razón por la que un programa similar no funcionara en España. De hecho, el balance de todas mis experiencias divulgadoras es siempre el mismo: las matemáticas interesan a la gente. Si lo haces bien, puedes tener en vilo durante una hora a un público de lo más variado hablándoles de números primos o de topología. Para promocionar la colección El mundo es matemático, El País tuvo la brillante idea, que luego copió Le Monde, de colgar en su web un vídeo con un problema matemático y dar una semana a los lectores para resolverlo. Fue un éxito increíble, nadie se lo esperaba. Yo mismo participé presentando uno de los desafíos, relacionado con las matemáticas de los procesos electorales. Recibimos unas 600 soluciones, y muchos de los que nos escribían nos contaban que esperaban con ansia cada nuevo vídeo; recuerdo un lector que me escribió: «Estoy resolviendo el problema en el hospital, con mi hijo recién nacido en brazos. A ver si así se aficiona a las matemáticas». Si eso no es interés…
Pero son raros los casos en los que realmente se aprovechan todos los medios de los que disponemos. El telediario, sin ir más lejos. Tienes delante a una audiencia de millones de personas y pierdes cinco minutos con partos en autobuses, explosiones de gas y otros sucesos sin interés alguno: ¡haz que aprendan algo!, háblales de ciencia, cuéntales la Odisea. El problema es que quienes están en condiciones de poner en marcha iniciativas como esta son los mismos que han conseguido que sea posible terminar 20 años de educación con una cultura lamentable y sin haber leído un solo libro.
En Italia son muy de jugar con las palabras, en Francia está el Oulipo… Y en España no tenemos nada…
Bueno, nos gustan los juegos de palabras también. Sí que es cierto que visto desde fuera, claro, pensamos que el Oulipo es un fenómeno de masas, y son cuatro. Lo fueron en su momento y lo siguen siendo ahora.
Arquímedes aplicó el método Diagonal para calcular El Arenario (el número de granos de arena necesarios para llenar el Universo). Ahora hay matemáticos que intentan demostrar que cualquier número puede aparecer en las cifras decimales del número Pi. ¿Qué se esconde tras estos divertimentos? ¿Son solo un juego?
Es una cuestión de gusto. Yo creo que hay problemas más interesantes que ese, porque el hecho de que π contenga, pongamos, todas las cifras del 0 al 9 con igual frecuencia no es sorprendente: lo sería que el 3 apareciese mucho más que el 7. Pero todo depende de cómo presentemos el problema. La cuestión subyacente es de una simplicidad casi provocadora: ¿qué es un número? Empecemos por un ejemplo fácil: ¿cómo definimos la raíz cuadrada de 2? Es un número que, multiplicado por sí mismo, da 2; si lo llamamos x, cumple la relación x2=2. Los números de este tipo, que son solución de ecuaciones polinomiales, se llaman algebraicos. En cuanto a π, la forma más sencilla de definirlo es como el área de un círculo de radio uno; fíjate que no tiene nada que ver. Así que podemos preguntarnos: ¿es π solución de alguna ecuación polinomial? Y la respuesta es no; esos números se llaman trascendentes. Mi amigo Juanjo Rué y yo acabamos de escribir un librito sobre ellos para la colección ¿Qué sabemos de?, editada conjuntamente por el CSIC y por Los Libros de la Catarata. En cierta medida, los números trascendentes contienen una cantidad infinita de información, en contraste con los algebraicos. Si pensamos que cualquier texto se puede codificar mediante una secuencia numérica y π las contiene todas, significa que dentro de π está el Quijote. No hay duda de que eso hace más atractivo el problema, pero no es una razón matemática para interesarse en él…
¿Existe algún método para generar números trascendentes cuyos decimales tengan una estructura determinada?
Sabemos que tienen que existir números trascendentes porque el infinito de los números reales es mayor que el de los algebraicos. Ese mismo argumento demuestra que casi todos los números son trascendentes: en un sentido técnico, la probabilidad de que un número elegido al azar sea algebraico es cero. Sin embargo, resulta extremadamente difícil decidir si un número dado es trascendente o no, y eso tiene que ver con la pregunta «¿qué es un número?» de la que hablábamos antes. El número π es trascendente, pero hubo que esperar hasta 1882 para tener una demostración. Cuarenta años antes, Liouville había construido los primeros números trascendentes: por ejemplo, 10-1+10-2+10-6+10-24+… es un número trascendente (los exponentes son los factoriales de los números naturales). En general, cualquier sucesión acotada de enteros positivos da lugar a un número trascendente con una cierta estructura. Pero se podría decir que esos números trascendente lo son por una razón tonta: admiten muy buenas aproximaciones por números racionales y eso contradice un teorema del propio Liouville sobre los números algebraicos. Mucho más interesante sería demostrar que un número como 1+1/8+1/27+1/64+… (la suma de los inversos de los cubos de los números naturales) es trascendente. Y de eso no tenemos la menor idea.
En la conferencia que diste en la UMP comentabas que el único problema común entre los famosos 23 que propuso Hilbert y los 7 del milenio es la demostración de la hipótesis de Riemann, de la que Marcus du Santoy ha hecho un libro alucinante titulado La música de los números primos. ¿Serviría un conocimiento avanzado de la distribución de los números primos para facilitar la ingeniería inversa de los métodos criptográficos basados en RSA y curvas elípticas o no tiene nada que ver?
Ambos sistemas criptográficos están basados en la existencia de operaciones irreversibles en tiempo polinomial. Déjame que te lo explique. En el caso de RSA, se trata de la multiplicación y la factorización: es muy fácil para un ordenador multiplicar dos números primos de entre 300 y 400 dígitos cada uno, pero, conociendo solo el producto, incluso la máquina más potente del mundo tardaría millones de años en encontrar los dos factores. La criptografía de curvas elípticas es más difícil de explicar, pero el principio es el mismo: cierta operación es fácil de realizar en un sentido, pero no en sentido contrario. Como la clave pública es el resultado de esa operación, aunque alguien la intercepte, para desencriptar el mensaje tendría que revertirla. De modo que la pregunta es si existen algoritmos rápidos de factorización, y yo no conozco ningún enunciado que los relacione con la hipótesis de Riemann. Sí que existe un procedimiento de computación cuántica, el algoritmo de Schor: el día en que se construya un ordenador cuántico con suficientes qubits, el método RSA dejará de ser seguro. Pero por ahora podemos estar tranquilos: el mayor número que se ha conseguido factorizar con ese método es 21 (risas). Con eso no quiero decir que no sea un avance de extraordinaria importancia. Una vez le escuché a Juan Ignacio Cirac compararlo con el paso de las cartas al correo electrónico: por mucho que mejore el correo postal, nunca será como un e-mail; es otra dimensión.
¿Se ha abordado la indecibilidad de encontrar la existencia de un patrón en los números primos o no ha lugar?
De hecho, existen fórmulas que generan todos los números primos. Es una consecuencia del teorema de Davis-Putnam-Robinson-Matiyasevich que establece que un subconjunto de los números naturales es recursivamente enumerable si y solo si es diofántico. «Recursivamente enumerable» significa que existe un algoritmo que imprime, suponiendo que se le deje actuar indefinidamente, todos los valores del conjunto. Los números primos lo son porque, dado un número cualquiera, se puede decidir en un número finito de pasos si es primo o no, así que lo único que tiene que hacer la máquina es ir examinando los números naturales uno a uno e imprimiendo solo aquellos que sean primos: 2, 3, 5, 7, 11… «Diofántico», por su parte, quiere decir más o menos que existe una ecuación con coeficientes enteros cuyas soluciones son exactamente los elementos del conjunto. Por ejemplo, los números pares son diofánticos, pues son las coordenadas x de las soluciones de la ecuación x-2y=0. Gracias al teorema que he mencionado, sabemos que los números primos son diofánticos, de modo que existe una fórmula que los genera todos. En los años 70 se encontró un tal polinomio, en 26 variables.
Pero eso no permite predecir cuál es el siguiente número primo a uno dado: su distribución sigue siendo un misterio. Usando otra vez los factoriales, podemos ver que existen intervalos tan grandes como queramos sin números primos. En efecto, n!+2, n!+3, …, n!+n es un intervalo de longitud n-1 sin ningún número primo, porque n!+2 es divisible por 2, n!+3 por 3, y así sucesivamente, hasta n!+n, que es divisible por n. Aun así, el matemático Yitang Zhang acaba de demostrar que existen infinitos pares de números primos separados por una cantidad menor que una cierta constante. En su artículo, Zhang establece el valor de esa constante en 70.000.000. Gracias a un proyecto de colaboración masiva online, Polymath, en un par de meses se ha conseguido reducirla a 14.950. El objetivo es llegar a 2, lo cual daría una respuesta positiva al problema de los primos gemelos.
En psicología el modelo más utilizado de explicación de la mente humana es el que asimila los procesos cognitivos como los procesos de computación. Por otro lado, en base a la lógica difusa y las redes neuronales estamos avanzando en I.A.. En tu opinión, ¿buscamos replicar al ser humano a través de modelos o ponemos de manifiesto nuestra naturaleza con la búsqueda de los mismos?
El intento de comprender el cerebro y, en última instancia, de reproducirlo es un producto del cerebro. Virgilio llama afortunado al que conoce las causas de las cosas: no hay nada más humano que la voluntad de comprender. Y la inteligencia sigue siendo un misterio en una época que ha desvelado los secretos de tantas cosas. Por desgracia, mi conocimiento de las redes neuronales y los algoritmos genéticos es solo el de un lector interesado. Hay argumentos muy famosos contra la inteligencia artificial, pero ninguno de ellos se sostiene. Podríamos pasar horas hablando del test de Turing o de la habitación china de Searle; también el teorema de Gödel tiene reservado su papel. Los detractores de la inteligencia artificial explican, a grandes rasgos, que ninguna máquina puede emular al cerebro porque si le diéramos uno de los enunciados indecidibles cuya existencia predice el teorema, la máquina se pasaría toda la eternidad intentando demostrarlo o refutarlo, mientras que un ser humano sería capaz de ver que es indecidible. El problema es que, entre las hipótesis del teorema de Gödel, está la consistencia. y no está nada claro que demostrar la consistencia sea más fácil para un ser humano que para una máquina. De hecho, lo que a menudo se conoce como segundo teorema de Gödel afirma que la consistencia de la aritmética no se puede demostrar «sin salirse» de la aritmética.
