J. López García, "Diez
formas de pensar y resolver un problema matemático", en ABC 19/06/2013:
«Las matemáticas son difíciles,
pero si piensas matemáticamente todo se simplifica», así se explica en el libro
'Cómo pensar como un matemático' del profesor Kevin Houston
1.Cuestiónatelo todo
Una de las cosas más bellas de
las matemáticas es que todo puede ser probado. No tienes que creerte todo lo
que te digan. Si alguien dice que algo es verdad, tú puedes pedirle que lo
demuestre. O mejor, si realmente quieres pensar como un matemático intenta
probarlo tú mismo. Tu reacción siempre debe ser dudar e intentar encontrar un
contraejemplo. Aunque al final el resultado sea cierto, el esfuerzo mental te
ayudará a cuestionar otras afirmaciones en el futuro.
2. Escribe con palabras tu
problema
¿Cómo puede ser que ponerme a
escribir puede ayudarme a ser un buen matemático? —te estarás preguntando. Las
frases son los ladrillos con los que construimos nuestros argumentos. Las
matemáticas manejan argumentos para elaborar las demostraciones y probar las
conjeturas. ¡No se trata de que te pongas a hacer cuentas como un loco! Muchos
estudiantes no creen que esto sea necesario; suelen decir: «No me he
matriculado en Matemáticas para escribir ensayos», o «¡pero si ya casi tengo la
solución!». Si deseas comprender las matemáticas a fondo y pensar con claridad,
escribir te obligará a cuidar tus argumentos. Si no eres capaz de describirlos,
quizás sea por que no has comprendido el fondo del problema.
3. ¿...Y si fuera al revés?
Los teoremas matemáticos se basan
en la lógica. Son silogismos que aseguran que si A es verdad, entonces B
también es verdad. Pero si damos la vuelta al argumento, estaríamos afirmando
que si B es cierto, entonces A también sería cierto. Por ejemplo, si digo: «si
soy español, entonces soy europeo», su inverso sería: «si soy europeo, entonces
soy español». Un buen matemático, cuando está seguro de que A «es necesario»
para B, siempre se preguntará si lo contrario también es cierto. En ocasiones
será cierto y en otras no, como sucede en nuestro ejemplo anterior. De serlo,
se dirá que B «es suficiente» para A.
4. Utiliza la reducción al
absurdo
René Descartes, precursor del uso
de la lógica en las matemáticas y la filosofía
Lo contrario de la afirmación
anterior de «si A es verdad, entonces B es verdad», implica que «si B es falso,
entonces A es falso». Bueno, pues ¡podemos estar seguros de la veracidad de
esta última afirmación! Si le damos la vuelta otra vez, nos encontramos la
primera afirmación y viceversa. En nuestro ejemplo, podríamos demostrar nuestra
afirmación «si soy español, entonces soy europeo», por reducción al absurdo,
comprobando que es cierta su contraria: «si no soy europeo, entonces no soy
español». Una prueba habitual en los tests psicológicos, conocida como tarea de
selección de Wason, se basa en este recurso y por cierto, los resultados entre
los encuestados son bastantes pobres, ¡menos del 10% consiguen hacerlo
bien!Mira aquí si tú podrías hacer el test correctamente.
5. Lleva los ejemplos al extremo
Una buena estrategia es pensar:
¿Qué sucedería si utilizo el número 0 ó el 1?, ¿Cómo se comportaría una recta o
una circunferencia? ¿Y si uso un elemento trivial que siempre sea nulo? ¿Y si
tomo el conjunto vacío? ¿O la secuencia 1, 1, 1, ...? Estos ejemplos te
ayudarán a comprender mejor el problema.
6. Crea tu propio mundo
Un matemático crea sus propios
ejemplos, algunos serán normales, otros extremos y otros serán contraejemplos.
Cuando conozcas el procedimiento de resolver un tipo de problemas, intenta ir
más allá y busca problemas similares que no puedan resolverse con ese método y
sea necesario mejorarlo.
7 Y si supongo que...
Comprender la demostración de un
teorema puede llegar a ser difícil. No suelen explicarse los pormenores que justifican
todos los pasos seguidos por el autor para llegar a las conclusiones o cómo fue
descubierta la clave para alcanzar la solución. Es una de las cosas más
difíciles a las que se enfrentan los matemáticos. Todos los teoremas dan por
ciertas unas hipótesis iniciales. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras da por
supuesto un ángulo de noventa grados dentro del triángulo. Estas
presuposiciones serán usadas antes o después en el transcurso de la
demostración (de lo contrario serían innecesarias). Por tanto, tienes que estar
atento al momento en que se hace uso de ellas en el transcurso del desarrollo.
Conociendo su estructura, no necesitarás memorizar sus conclusiones.
8. Empieza por lo más complicado
Para probar que una igualdad es
cierta, es mejor comenzar por el lado más complicado de los dos, intentar
simplificarlo y reducirlo hasta llegar a la expresión del otro lado de la
igualdad. Intentar partir de la ecuación completa, pasando de uno a otro
miembro parte de los términos, sin darte cuenta podría llevarte a repetir en
círculos los mismos pasos sin llegar a resolverla.
9. ¿Qué pasaría si...?
A los buenos matemáticos les
gusta preguntarse: «¿Qué pasaría si, por ejemplo, prescindo de esta hipótesis?»
Haciendo este experimento, podrás entender por qué un resultado es cierto o por
qué se define de esa manera un elemento de la demostración. ¡Han aparecido
nuevos y más elegantes teoremas a partir de condiciones iniciales más débiles
que en el original! La idea es hacerse siempre nuevas preguntas.
10. ¡Explícate!
Cuando Sir C. Zeeman fundó el
Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas para
crear una atmósfera matemática en el centro fue la instalación de pizarras en
los pasillos —y no sólo dentro de las aulas—, para que unos y otros pudieran
explicar el trabajo que estaban realizando, favorecer la colaboración y
contrastar los resultados. En el Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac
Newton» de Cambridge, hay pizarras en los baños y en el ascensor, ¡qué sólo
recorre dos plantas! Explicar a otros tus ideas contribuye a aclararlas y
puedes aprender mucho con las sugerencias que ellos puedan aportarte o
encontrar errores que de otro modo no verías. Busca a alguien con quien puedas
hablar de tus problemas... matemáticos.
Si se aplica la lógica a los
dogmas religiosos, tienen un defecto mayor a lo equivalente en los matemáticos,
los axiomas; los primeros son incuestionables, pero con los segundos siempre
existe la posibilidad de que alguien pruebe lo contrario. Además hay axiomas no
probados cuyas consecuencias sí pueden probarse y demostrarse. Pero todo lo
construido en base a Dios no puede ser probado, ni el Cielo, ni el Infierno, ni
el Pecado, ni la existencia de un alma, a no ser que tomemos en serio una serie
de fenomenos todavía sin explicación racional, los llamados milagros o
fenómenos paranormales. Así que, si se cuantifica y no se rebate, eso no
significa que la matemática no pueda ser rebatida en algún punto: con esto la
matemática cambiaría, pero no desaparecería. Por el contrario, como supone
Kant, la idea de Dios no puede ser rebatida en parte ni en todo, ni en el
presente ni en el futuro, ya que si se refuta o se demuestra, la religión
desaparece, no puede comprobarse. De forma que, si se trata de elegir en qué
creer (dogmas o axiomas), serían preferibles los axiomas. Al menos se puede
comprobar lo que uno construye con ellos, o, acaso, si lanzas una moneda común
un millón de veces, lo más probable es que se tiendan a igualar la cantidad de
resultados obtenidos (cara o cruz) y bajo mi ciencia asumo la posibilidad de
algún resultado posible en el universo de resultados. Por el contrario no
existe un experimento que se funde en la existencia de Dios; es incorrecto y
dañino para los hombres que las religiones generen y promuevan ideas absolutas
e incuestionables tanto como lo es la existencia de una sola verdad. En cambio
la ciencia se construye en base al método. La realidad es mayor a nuestras
explicaciones, pero esto no implica que las respuestas a lo que desconocemos
todavía y sea inexplicado sea Dios; aunque, de hecho, a lo largo de la historia
la idea de Dios y las religiones haya significado algunas veces subdesarrollo,
destrozo de conocimiento, limitación del cuestionamiento y por ende limitación
de crear conocimiento porque el conocimiento nace de la duda, Dios ofrece
respuestas que son su misma pregunta, tautologías, y no puede probarse la
existencia del alma, del cielo o de algo que implique que Dios existe... por
eso esta teoría es la única que se cree antes de mostrar siquiera que tiene
algún fundamento en al realidad, sino más bien es la expresión del miedo a la
finitud del hombre, sin olvidar que la moral solo es personal, ya que, cuando
la moral nace de la religión, nace de entender lo que es beneficioso para vivir
en sociedad, simplemente. Y, si la más
grande creación de Dios el hombre, y por consecuencia Vos no puede, según tú, ser
probada luego entonces por qué crees que existes? Asumes existencia si la
defines de alguna manera, en especial podemos encasillar la realidad percibida
como prueba de la existencia.
Rajoy también tiene un problema
matemático. La solución es muy sencilla, pero todavía no ha dado con ella. Dice
así: "¿Cómo es posible que habiendo subido los impuestos la recaudación
haya disminuido?"
Si quiere la solución que se lo
curre, que para eso cobra (y no poco).
B. Russel: "No creo que Dios
haya elegido a los Judíos pues no los hubiera hecho tan feos... " Godel
con sus dos teoremas de incompletitud
terminó por aniquilar a la ciencia como herramineta competente en Cosmología
como la usan actualmente los ignorantes. Si la ciencia (hoy en dia basada
fuertemente en la matematica y sobre todo en la probabilidad... a costa de la lógica
es parte de la realidad, nunca podrá explicar esa realidad misma... (corolario
de uno de los teoremas de Gödel: “¡Un sistema de n dimensiones solo puede ser completamente
representado por uno de n + 1 dimensiones, lo que es totalmente lógico!). Para
explicar la ciencia se necesitaria una metaciencia, de por lo menos una
dimensión mayor. Y algunos llaman a esa metaciencia religión o ética.
Schopenhauer: “Si Dios puede pensar, también debe poder digerir, ya que el
pensamiento es la funcion de un órgano llamado cerebro, como la digestión lo es
del estómago”. El pensar no puede explicar la realidad porque pensar pertenece
a la propia realidad; es parte de ella. Pensar es una funcion del cuerpo y la
ciencia su producto. Por eso existen misterios, que por esta misma verdad son
misterios. La epistemologia o la gnoseologia es el conocimiento. La metalógica
o la metaciencia es la descripción de cómo se realiza ese conocimiento. Cuando
se describe cómo se realiza ese conocimiento para que sea fácil de entender, es
cuando se habla de metalógica o de metaciencia.... Las lógicas del conocimiento
y de la creencia son distintas y los mundos posibles también (Hintikka y
Kripke). El pensar no asegura ni la realidad ni el conocimiento, pero el ser
humano es un ser de realidades (Zubiri). Tomemos, por ejemplo, el axioma del
paralelismo, las longitudes del mundo son paralelas en el ecuador pero se
cortan en los polos; las paralelas no se cortan en el plano; pero ¿qué es un plano
si no sabemos qué es una recta. Pensamos que una recta es la distancia más
corta entre dos puntos, pero, ¿existe? Parece que no; en la tierra es prácticamente
imposible, en el espacio, donde no hay obstáculos ni gravedad), también. Pero
sí se puede ir de la Tierra a la Luna dando círculos (órbitas), ya que la recta
es imposible.
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